रविवार कोडे २५०५

19 मे, 2025

हे कोडे रविवार २५ मे २०२५ रोजी विज्ञान दैनंदिनी व तर्कविचार या उपक्रमात चर्चिले जाईल. त्यानंतर या ठिकाणी त्याचे उत्तर सांगितले जाईल.

कोडे २५०५

टिमोथीने त्याच्या कडील सर्व रक्कम पाच दुकानांत मिळून खर्च केली. कोणत्याही दुकानात शिरण्यापूर्वी त्याच्याकडे जितकी रक्कम होती त्याच्या अर्ध्यापेक्षा १ रुपया जास्त खर्च त्याने त्या त्या दुकानात केला. तर टिमोथी पहिल्या दुकानात शिरण्यापूर्वी त्याच्याकडे किती रक्कम होती ?

Timothy spent all his money in five stores. In each store, he spent one rupee more than half of what he had when he came in. How much did Timothy have when he entered the first store?

उत्तर

या कोड्याचे उत्तर दोन पद्धतींनी शोधता येते.

तर्कविचाराची पद्धत

पुढील पायऱ्यांनी विचार केला तर उत्तर शोधता येते.

शेवटच्या म्हणजे पाचव्या दुकानात खर्च केल्यावर उरतात शून्य रुपये.
कोणत्याही वेळी खर्च केलेली रक्कम आणि उरलेली रक्कम यांत दोन रुपयांचा फरक असतो. (वाचाः कोणत्याही दुकानात शिरण्यापूर्वी त्याच्याकडे जितकी रक्कम होती त्याच्या अर्ध्यापेक्षा १ रुपया जास्त खर्च त्याने त्या त्या दुकानात केला.)
म्हणून पाचव्या दुकानात टिमोथीने २ रुपये खर्च केले. (कारण त्यानंतर ० रुपये उरले होते.)
कोड्यात सांगितल्या प्रमाणे चौथ्या दुकानात खर्च केल्यावर उरणाऱ्या रकमेच्या निम्म्यात एक मिळवला की येणारी रक्कम पाचव्या दुकानात खर्च होते. उलट्या हिशोबाने ही (चौथ्या दुकानात खर्च केल्यावर उरलेली) रक्कम २ रुपये ठरते
या प्रकारे प्रत्येक दुकानात खर्च होणारी रक्कम आणि उरणारी रक्कम यांचा तक्ता पुढील प्रमाणे लिहिता येईल. त्यावरून टिमोथीकडे मूळ रक्कम किती होती हे सांगता येईल.

दुकान क्र. खर्च रक्कम उरलेली रक्कम

```
        ३२            ३०
```
```
        १६            १४
```
```
        ८             ६
```
```
        ४             २
```
```
        २             ०  
```

खर्च केलेली एकूण रक्कम ६२ रुपये. म्हणजे टिमोथीकडे सुरुवातीला ६२ रुपये होते.

बीजगणिताची पद्धत

हे कोडे बीजगणितानेही सोडवता येते. त्यासाठी

टिमोथीकडे असणारी मूळ रक्कम x मानू.
म्हणून पहिल्या दुकानात खर्च केलेली रक्कम होते $\frac{x}{2} + 1$ , आणि उरलेली रक्कम होेते $\frac{x}{2} - 1$ . या दोन्हीतला फरक २ रुपये येतो हे लक्षात घ्या. वरील पद्धतीतील एका निष्कर्षाशी तो जुळतो. व्यवहारी अपूर्णांकांची (fractions) बेरीज करताना छेद (denominator) सारखा करून घेण्याची युक्ती वापरली की खर्च केलेली रक्कम $\frac{x + 2}{2}$ अशी येते आणि उरलेली रक्कम येते $\frac{x - 2}{2}$
दुसऱ्या दुकानात खर्च केलेली रक्कम असेल- $\frac{x + 2}{4}$ आणि उरलेली रक्कम होते $\frac{x - 6}{4}$ .
तिसऱ्या दुकानात खर्च केलेली रक्कम असेल- $\frac{x + 2}{8}$ आणि उरलेली रक्कम होते $\frac{x - 14}{8}$ .
चौथ्या दुकानात खर्च केलेली रक्कम असेल- $\frac{x + 2}{16}$ आणि उरलेली रक्कम होते $\frac{x - 30}{16}$ .
पाचव्या दुकानात खर्च केलेली रक्कम असेल- $\frac{x + 2}{32}$ आणि उरलेली रक्कम होते $\frac{x - 62}{32}$ .
पाचव्या दुकानात खर्च केल्यावर टिमोथीकडे काहीच उरले नाही हे आपल्याला माहिती आहे. त्यामुळे, $\frac{x - 62}{32} = 0$ असे समीकरण तयार होते. ते सोडवले की $x = 62$ असे उत्तर मिळते. त्याचा अर्थ टिमोथी कडे असलेली मूळ रक्कम होती ६२ रुपये.

#उपक्रम