तीन घड्याळे
तर्कविचार प्रशिक्षण या उपक्रमा अंतर्गत सुरुवातीला कोडी विचारून त्याची उत्तरे समजावून सांगण्याचे सध्या ठरवले आहे. त्यामुळे या प्रशिक्षणाला एक अनौपचारिक स्वरूप येईल. मात्र कोड्यांचा दर्जा उत्तम राखला जाईलच.
कोडे क्र. १
एका घड्याळजीकडे तीन घड्याळे दुरुस्तीसाठी आली आहेत. त्या पैकी पहिले घड्याळ दर अडीच तासांनी एक टोल देते. दुसरे घड्याळ दर साडेतीन तासांनी एक टोल देते. तिसरे दर साडेपाच तासांनी एक टोल देते. घड्याळजीने ही तीनही घड्याळे एकाच वेळी चालू केली तर किती वेळानंतर तीनही घड्याळे एकदमच टोले देतील ?
कोड्याचे उत्तर
या कोड्याचे उत्तर दिनांक ११ मे रोजी होणाऱ्या कार्यक्रमात सांगितले. ते पुढील प्रमाणेः
- प्रथम अडीच, साडेतीन व साडेपाच या अपूर्णांक संख्यांचे रूपांतर पूर्णांकामधे करा.
- त्यासाठी अर्ध्या तासाचे एक एकक मानले तर अडीच म्हणजे पाच एकक, साडेतीन म्हणजे ७ एकक आणि साडेपाच म्हणजे ११ एकक असे लक्षात येईल.
- आता सर्व घड्याळे एकदम टोल देतील ती वेळ ५, ७ व ११ यांच्या पाढ्यातील असायला हवी हे लक्षात घ्या.
- त्याच प्रमाणे सर्व टोल एकदम पडतील ती वेळ पहिल्यांदा कधी येते हे शोधण्यासाठी आपल्याला ५, ७ व ११ यांचा ल.सा.वि. (lcm म्हणजे least common multiple) काढायला हवा. कारण या वेळेच्या संख्येला ५, ७ व ११ या तीनही संख्यांनी भाग जाईल आणि ती संख्या कमीत कमी असेल.
- ५, ७ व ११ चा ल.सा.वि. आहे ३८५. पण ही अर्ध्या तासाची एकके आहेत. म्हणून १९२.५ (३८५ भागिले २) इतक्या तासांनी तीनही घड्याळांनी टोल देण्याची वेळ येईल असे आपल्याला समजते. १९२.५ तास म्हणजे आठ दिवस व अर्धा तास. घड्याळजीने घड्याळे चालू करून दिल्यावर आठ दिवस व अर्ध्या तासाने वरील तीनही घड्याळे एकदम टोल देतील. पुन्हा तितक्याच कालावधीनंतर पुन्हा एकदम टोले पडतील.
- एकदम टोले देण्याची घटना घडल्यावर पहिल्या घड्याळाने एकूण ७७ टोले दिलेले असतील, दुसऱ्या घड्याळाने ५५ टोले दिलेले असतील तर तिसऱ्या घड्याळाने ३५ टोले दिलेले असतील. म्हणजेच पहिल्या घड्याळाचा ७७ वा, दुसऱ्याचा ५५ वा आणि तिसऱ्याचा ३५ वा टोला एकदम पडेल.
हे कोडे सोडवण्यासाठी अपूर्णांकाचे रूपांतर पूर्णांकात करताना तासांचे मिनिटांत रुपांतर करणे देखील शक्य आहे. त्यामुळे संख्या मोठ्या होतील. पण उत्तर तेच येईल.